5.3.1 傅里叶变换の奇偶性
奇偶性性质：
- 如果原始信号 $f(t)$ 是实数信号（即没有虚部） ，那么其傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即$F(-ω) = F^(ω)$，其中 $^$ 表示共轭。
- 如果原始信号f(t)是偶函数（即$f(-t) = f(t)$），那么其傅里叶变换$F(ω)$也是偶函数，即$F(-ω) = F(ω)$。
- 如果原始信号f(t)是奇函数（即$f(-t) = -f(t)$），那么其傅里叶变换F(ω)也是奇函数，即$F(-ω) = -F(ω)$。
- 如果原始信号$f(t)$是实数偶函数，那么其傅里叶变换$F(ω)$是实数偶函数。
- 如果原始信号$f(t)$是实数奇函数，那么其傅里叶变换$F(ω)$是虚数奇函数。
所以我们可以对原始信号 $f(t)$ 分情况分析：$①$实函数 $②$实偶函数 $③$实奇函数。
由傅里叶变换：$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega{t}}\mathrm dt =
\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{\omega{t}}~\mathrm dt
-i\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{\omega{t}}~\mathrm dt$
所以频谱可以分成两个部分：$Re(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{\omega{t}}~\mathrm dt\quad$ $\quad Im(\omega) = -\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{\omega{t}} ~\mathrm dt$
幅度：$|f(t)| = \sqrt{R^2(\omega)+I^2(\omega)}$ 相位：$\varphi{(\omega)} = \arctan{(\frac{I{(\omega)}}{R{(\omega)}})}$
共轭对称性：实部是偶函数，虚部是奇函数 $f(-\omega) = f^*(\omega)$。
实偶函数：①函数的值都是实数，没有虚部。 ②函数具有对称性，对于所有的 $x$ ,满足 $f(x) = f(-x)$ 。
实奇函数：①函数的值都是实数，没有虚部。 ②函数具有原点对称性，对于所有的 $x$ ,满足 $f(-x) = -f(x)$ 。
奇函数：$a(x),b(x)$ 偶函数：$c(x),d(x)$ ,假设 $f(x) = i(x)j(x)$ ，其中 $i(x),j(x) =a(x) \or b(x) \or c(x) \or d(x) $
奇函数 $*$ 奇函数 $=$ 偶函数：$f(-x) = a(-x)b(-x) = a(x)b(x) = f(x)$
偶函数 $*$ 偶函数 $=$ 偶函数：$f(-x)=c(-x)d(-x) = c(x)d(x) = f(x)$
奇函数 $*$ 偶函数 $=$ 奇函数：$f(-x) = a(-x)c(-x) = -a(x)c(x) = -f(x)$
$\text{(i)}$原始信号是实函数
先解释一下什么是实函数：没有虚部的函数。
假设共轭傅里叶为 $F^(\omega)$ ，原傅里叶为 $F(\omega)$ ，要得到傅里叶变换的奇偶性的性质，需要求得 $F(-\omega)$ 并与 $F(\omega)$ 与$F^(\omega)$的比较。
$F(-\omega)$ 可以表示成： $\Rightarrow F(-\omega) = \int_{t=-\infty}^{t=+\infty}f(t)e^{i\omega{t}} \mathrm dt$
$F^(\omega)$，由于$f(t)$ 是实数信号，所以其共轭 $f^(t) = f(t)$ : $\Rightarrow F^(\omega)= \int_{t=-\infty}^{t=+\infty}f^(t)e^{i\omega{t}} \mathrm dt = \int_{t=-\infty}^{t=+\infty}f(t)e^{i\omega{t}} \mathrm dt$
可以观测得到 $F(-\omega) = F^*(\omega)$ 符合共轭对对称性。
$\text{(ii)}$原始信号是实偶函数
FROM CHAT GPT:
对于实数偶函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)是实数偶函数。这意味着F(ω)的虚部为零。换句话说，在这种情况下，傅里叶变换的结果只包含实部，没有虚部。这是因为实数偶函数与余弦函数的乘积仍然是偶函数，而与正弦函数的乘积是奇函数。由于偶函数和奇函数的积分在对称区间上分别为非零和零，所以实数偶函数的傅里叶变换只包含实部，没有虚部。
如果原始函数是实偶函数，那么傅里叶变换之后的实部为：$Re(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{\omega{t}}~\mathrm dt \neq{}0$ ，
虚部为：$Im(\omega) = -\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{\omega{t}}~\mathrm dt ={0}$
所以实偶函数傅里叶变换之后也应该是实偶函数。
$\text(iii)$原始信号是实奇函数
傅里叶变换之后的实部为：$Re(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{\omega{t}}~\mathrm dt = 0$ 虚部为：$Im(\omega) = -\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{\omega{t}}~\mathrm dt \neq{0}$
5.3.2 傅里叶变换の卷积
先回顾一下卷积的定义，其中$f(\tau),g(\tau)$均是可积函数 ：$\Rightarrow s(t) = f(\tau)\ast{g(\tau)} = \int_{\tau=-\infty}^{\tau=+\infty}f(\tau)g(t-\tau) ~ \mathrm d\tau$
傅里叶变换：$\Rightarrow \mathscr {F}[f(t)] = F(\omega) = \int_{\tau=-\infty}^{\tau=+\infty} f(t) e^{-i\omega{\tau}} ~\mathrm dt$
卷积是一种运算方式，针对线性时不变系统。最基础的应用就是：在时域中，一个输入，卷积上单位冲激响应（冲激响应上面有提到），就可以得到输出信号。线性时不变系统指的是系统的输入与输出成线性关系，且系统特性不随时间而改变。
傅立叶变换的主要作用就是在这两个域之间建立联系，让我们可以从不同的角度分析和处理信号。例如，在时域中，线性时不变系统的输入信号和冲激响应需要进行卷积运算才能得到输出信号。而卷积涉及到积分，有时候这个卷积积分会十分复杂。我们可以将输入信号和冲激响应分别进行傅里叶变换，将他们变成两个频域函数。这时，只需要将两个频率函数相乘就可以得到输出信号的频域函数，因为频域中的乘法比频域中的卷积更容易处理。 简而言之，简化运算。
- 将输入信号和冲激函数分别进行傅氏变换，得到各自频域函数。
- 将两个频域函数相乘，得到输出信号的频域函数。
- 逆傅里叶变换，得到输出信号的时域函数。
卷积的傅氏变换，验证为什么能够简化运算：
$$
\begin{aligned}
\mathscr {F}[f(t)\ast{g(t)}] &= \int_{t=-\infty}^{t=+\infty}\left[\int_{\tau=-\infty}^{\tau=+\infty}f(\tau)g(t-\tau) ~ \mathrm d\tau\right] e^{-i\omega{t}}~\mathrm dt\
&=\int_{\tau=-\infty}^{\tau=+\infty}f(\tau)\left[\int_{t=-\infty}^{t=+\infty} g(t-\tau)e^{(-i\omega{t})}~\mathrm dt\right] \mathrm d\tau \
&=\int_{\tau=-\infty}^{\tau=+\infty}f(\tau)e^{-i\omega{t}}~ \mathrm d\tau
\int_{t=-\infty}^{t=+\infty} g(t-\tau)e^{(-i\omega{t})}~\mathrm dt\
&=\mathscr {F}[f(\tau)] \mathscr {F}[g(t-\tau)] \
&=\mathscr {F}_1(\omega) \mathscr {F}_2(\omega)
\end{aligned}
$$
5.3.3 傅里叶变换の时域微分，积分
微分就是求导，积分就是积分。:japanese_goblin:
通过傅里叶变换时域微分和时域积分，我们通过傅里叶变换，可以将时域中的微分和积分转换为频域中的相对较简单的运算。简而言之，也是简化计算。
$\text(i)$时域微分：
假设傅里叶变换为：$\Rightarrow \mathscr {F}[f(t)] = F(\omega) = \int_{t=-\infty}^{t=+\infty} f(t) e^{-i\omega{t}} ~\mathrm dt$ ，原函数导数傅氏变换应为：$\mathscr {F}[f’(t)] = i\omega{F(\omega)}$
所以对原函数求导对应求导后的傅里叶变换：$\Rightarrow f^{'}(t) \Leftrightarrow i\omega{F(\omega)}$
其中用到了高数积分公式中的分部积分思想：$\Rightarrow \int_a^b u’v ~\mathrm dt = \int_a^b v ~\mathrm du = \left.uv\right|^b_a - \int_a^b u ~\mathrm dv$
令：$\begin{cases}u = f’(t) \ \mathrm dv =e^{-i\omega{t}} ~\mathrm dt \end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases} \mathrm du =f’'(t) ~\mathrm dt \ v = (-1/i\omega)e^{-i\omega{t}} \end{cases}$
$$
\Rightarrow\begin{aligned}
\int_{t=-\infty}^{t=+\infty} u ~\mathrm dv &= \left.uv\right|{t=-\infty}^{t=+\infty} - \int{t=-\infty}^{t=+\infty} v ~\mathrm du
=\left.-f’(t)\frac{1}{i\omega} e^{i\omega{t}}\right|{t=-\infty}^{t=+\infty} ~+~ \int{t=-\infty}^{t=+\infty}\frac{1}{i\omega} e^{i\omega{t}} f’'(t) ~\mathrm dt\
\end{aligned}
$$
我们注意到这个积分的第一项在积分区间的两个极限处取值为 $0$（假设$f’(t)$在$±∞$处趋于零）：
$\Rightarrow\mathscr {F}[f’(t)]=\int_{t=-\infty}^{t=+\infty} f’(t) e^{-i\omega{t}} ~\mathrm dt = $ $\frac{1}{i\omega}\int_{t=-\infty}^{t=+\infty} e^{i\omega{t}} f’'(t) ~\mathrm dt$
上述的这个看起来和傅里叶变换看起来也没有什么关系，它们是如何联系起来的？
对傅里叶变换的 $\omega$ 的一阶导：$\Rightarrow F’(\omega) = \frac{\partial F(\omega)}{\partial \omega} = -i\omega\int_{t=-\infty}^{t=+\infty} f(t) e^{-i\omega{t}} ~\mathrm dt = -i\omega F(\omega)$
对傅里叶变换的 $\omega$ 的二阶导 : $\Rightarrow F’'(\omega)=\frac{\partial(\partial F(\omega))}{\partial^2 \omega} = (i\omega)^2\int_{t=-\infty}^{t=+\infty} f(t) e^{-i\omega{t}} ~\mathrm dt = (i\omega)^2 F(\omega)$
而对于一阶导和二阶导可以依靠$F(\omega)$联系起来：$\Rightarrow F’(\omega) = -i\omega F(i\omega)=\frac{1}{-i\omega} F’'(i\omega)$
至此，傅里叶微分性质得证（甚至可以推广至 $n$ 维求导）：$\mathscr {F}[f^{n}(t)] = (-1)^ni\omega ~\mathscr {F}[f(t)]$
$\text(ii)$时域积分：
思路一，硬算：
假设傅里叶变换为：$\Rightarrow \mathscr {F}[f(t)] = F(\omega) = \int_{t=-\infty}^{t=+\infty} f(t) e^{-i\omega{t}} ~\mathrm dt$ ，对$\int_{-\infty}^{t} f(\tau)~ \mathrm d\tau$ 的傅氏变换为：$\frac1{i\omega}F(\omega)$
我们在证明时域积分性质的时候需要用到一个数学技巧，那就是交换积分顺序：
原始积分：$\Rightarrow F_{int}=\int_{-\infty}^{\infty} \left(\int_{-\infty}^{\tau} f(\tau) d\tau\right) e^{-j\omega t} dt$ 交换积分顺序：$\Rightarrow F_{int} = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} dt\right) d\tau$
计算积分内层：$\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} \mathrm dt = -\frac{1}{i\omega} e^{i\omega{t}} +2\pi \delta(\omega)$
带入总表达式： $\Rightarrow F_{int}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega t} dt = \frac{-1}{j\omega} e^{-i\omega t} + 2\pi\delta(\omega)$
拆分积分：$F_{int}(\omega) = \frac{-1}{i\omega} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau + 2\pi\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(\omega) d\tau$
由此得到傅里叶变换的时域积分性质：$\Rightarrow F_{int}(\omega) = -\frac{F(\omega)}{i\omega} + C$
一般来说在$\omega = 0$ 的时候回带上一个 $2\pi \delta(\omega)$ ，$\omega = 0$ 频率我们一般不做讨论。
思路二，利用微分反向思维。
我们刚刚已经求得傅里叶变换时域微分的性质，假设 $g’(t) = f(t)$ ，则 $\mathscr {F}[f(t)] = F(\omega)$
一阶微分性质：$\mathscr {F}[f^{n}(t)] = (-1)^{n}i\omega ~\mathscr {F}[f(t)]\quad \Rightarrow n=1 \quad \mathscr {F}[f’(t)] = -i\omega{F(\omega)}$
根据傅里叶变换的微分性质，$\mathscr F[g(t)] = (-\frac{1}{\omega{i}})^2 \mathscr {F}[f’(t)] = (-\frac{1}{\omega{i}}) \mathscr {F}[f(t)]$
5.3.4 傅里叶变换の频域微分，积分
刚刚在一篇文章里面看到：
因为时域微积分特性可以用在加速度速度位移信号的相互转换上，而频域微积分特性实在难以想到有什么用途，所以仅罗列出来，并放个书本上的例题吧：
所以我也不证了。(狗头)
5.4 傅里叶变换的应用
5.4.1 图像增强与图像去噪
绝大部分的噪音都是图像中的高频分量，通过设计低通滤波器来滤去高频。边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘。下次新开文章说吧。
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